paradoks urodzinowy
Ile osób musi się zebrać, aby prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia, było większe niż 1/2?
Prawidłowa odpowiedź wynosi 23, co jest wartością zaskakująco niską w stosunku do tego, co może podpowiadać intuicja.
W losowo wybranej grupie składającej się z 23 osób prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich świętują swoje urodziny tego samego dnia, wynosi około 0,5073. Aby wyliczyć tę wartość najprościej zacząć od wyznaczenia prawdopodobieństwa tego, że wśród 23 osób żadne dwie nie obchodzą urodzin tego samego dnia. Prawdopodobieństwo to wynosi:
(Wyobraźmy sobie, że kolejnym 23 osobom przyporządkowujemy losowo dni w roku. Prawdopodobieństwo, że pierwsze dwie osoby nie "otrzymają" tego samego dnia wynosi 364/365 - pierwsza osoba może "otrzymać" jakikolwiek dzień, a druga dowolny spośród pozostałych 364 dni, prawdopodobieństwo, że trzeciej osobie nie zostanie przyporządkowany dzień "zajęty" przez dwie pierwsze osoby, wynosi 363/365, i tak dalej aż dojdziemy do osoby dwudziestej trzeciej, której pozostało 365-22=343 dni "niezajętych" przez poprzednie dwie osoby. Wszystkie otrzymane ułamki przemnażamy przez siebie, bo wybór dnia dla kolejnej osoby nie zależy od tego, jakie dni przyporządkowano poprzednim osobom.)
Teraz aby obliczyć prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie spośród 23 osób obchodzą urodziny tego samego dnia, trzeba odjąć od 1 powyżej wyliczoną wartość prawdopodobieństwa, że żadne dwie osoby nie obchodzą urodzin tego samego dnia: 1-0,4927 = 0,5073.
Ogólnie wśród losowo dobranych grup składających się z k osób, grupy zawierające przynajmniej dwie osoby obchodzące urodziny tego samego dnia, pojawiają się z prawdopodobieństwem:
Poniżej podaję wykres przedstawiający wartości wyliczone według tego wzoru:
Dla k > 70 prawdopodobieństwo jest bardzo bliskie 1, choć dopiero dla k = 366 mamy do czynienia ze zdarzeniem pewnym.
Jak można odczytać z wykresu, prawdopodobieństwo, że w czterdziestoosobowej grupie znajdą się co najmniej 2 osoby świętujące urodziny tego samego dnia, wynosi 0,89, zatem będąc w towarzystwie czterdziestu osób, możemy zakładać się, że są wśród w nich dwie, dla których urodziny przypadają tego samego dnia, i będziemy wygrywać w mniej więcej 89 przypadkach na 100. Biorąc pod uwagę, jak bardzo to prawdopodobieństwo rozmija się z intuicyjnymi oczekiwaniami, można przypuszczać, że zawsze znajdą się chętni do wzięcia udziału w takim zakładzie. Jak widać znajomość matematyki może uczynić z nas milionerów!
Dla prostoty obliczeń przyjęliśmy dwa założenia: po pierwsze nie bierzemy pod uwagę daty 29 lutego, po drugie założyliśmy, że losowo wybrany człowiek, obchodzi urodziny z jednakowym prawdopodobieństwem dla każdego dnia w roku, co nie jest zgodne z rzeczywistością, zdaje się, że w niektórych porach roku rodzi się więcej dzieci niż w innych. Pierwsze założenie zawyża obliczane prawdopodobieństwa, natomiast drugie zaniża. Aby obliczyć "prawdziwe" wartości prawdopodobieństw "urodzinowych", trzeba dysponować rozkładem liczby urodzeń w stosunku do dni w roku. A może któryś z Czytelników ma dostęp do takiego zestawienia?