paradoks kłamcy (paradoks Epimenidesa)
Powiadają, że Epimenides, legendarny grecki poeta, głosił, że wszyscy Kreteńczycy są kłamcami. Nie byłoby w tym pewnie nic dziwnego, gdyby nie to, że Epimenides sam był Kreteńczykiem! Albo Kreteńczycy są kłamcami, a więc Epimenides (też Kreteńczyk) kłamie, głosząc, że Kreteńczycy są kłamcami, a więc nie są oni kłamcami, albo też nie są oni kłamcami, i nie jest kłamcą Epimenides, a więc prawdą jest to, co głosi, tzn. że Kreteńczycy są kłamcami...
pozorny paradoks
Nietrudno jednak spostrzec, że zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa tak naprawdę wcale nie jest paradoksalne! Otóż zdanie "Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami" może być po prostu fałszywe - niektórzy (czyli nie wszyscy) Kreteńczycy faktycznie są kłamcami (w tym i Epimenides), ale są też i prawdomówni Kreteńczycy. Z drugiej strony zdanie wygłoszone przez Epimenidesa może być po prostu prawdziwe, jeśli przyjąć, że kłamca tylko czasami kłamie. (Najgorsze, że nie wiadomo kiedy; notoryczni kłamcy - tzn. ci, którzy kłamią zawsze - są zupełnie nieszkodliwi, wystarczy takiemu zadać pytanie "Czy dwa razy dwa jest cztery?", by go zdemaskować, oczywiście przy założeniu, że nie jest on idiotą nieznającym tabliczki mnożenia ani matematykiem akurat operującym w ciele Z3.) A więc można spokojnie, bez popadania w sprzeczność, głosić, że wszyscy ludzie są kłamcami, ponieważ każdemu z nas zdarzyło się kiedyś zełgać w takiej czy innej sprawie. Podobnie mordercą jest każdy, kto popełnił morderstwo, choćby nawet od zbrodni upłynęło wiele lat.
Mylił się natomiast św. Paweł, gdy pisał o Epimenidesie:
Powiedział jeden z nich, ich własny wieszcz: Kreteńczycy zawsze kłamcy, złe bestie, brzuchy leniwe. Świadectwo to jest zgodne z prawdą.
List do Tytusa 1:12-13, Biblia Tysiąclecia
"Świadectwo" Kreteńczyka na pewno nie może być prawdziwe. Może być natomiast fałszywe - Epimenides niesłusznie oczernił swoich rodaków, sam akurat skłamał, lecz jego ziomkowie kłamią nie zawsze, tylko czasami.
"prawdziwy" paradoks kłamcy
Jak stwierdziliśmy, w tym, że zdanie "Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami" pada z ust rodowitego Kreteńczyka nie ma nic paradoksalnego. Uspokojonych tą wieścią czytelników muszę jednak natychmiast zmartwić: istnieje "prawdziwy", że tak powiem, paradoks kłamcy. Jest nim zdanie:
To zdanie jest fałszywe.
Czy powyższe zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe? Jeśli byłoby prawdziwe, czyli prawdą byłoby to, co ono głosi, to musiałoby być fałszywe. Może więc zdanie to jest fałszywe? Lecz jeśli byłoby fałszywe, oznaczałoby to, że nieprawdą jest, że jest ono fałszywe, a więc zdanie byłoby wówczas prawdziwe! Jak widać, bez względu na to, od którego "końca" zaczniemy, dochodzimy niechybnie do wniosku, że omawiane zdanie jest równocześnie prawdziwe i fałszywe.
Ktoś mógłby jednak zapytać się: "Chwileczkę, do czego właściwie odnosi się fraza rzeczownikowa to zdanie? Przecież niekoniecznie musi ona oznaczać zdanie, którego jest częścią, równie dobrze może wskazywać na jakieś zupełnie inne pobliskie zdanie." Całkiem słuszne zastrzeżenia. Przeformuujmy więc nieco nasze zdanie:
To zdanie, które teraz właśnie wypowiadam jest zdaniem fałszywym.
No cóż, troszkę skłamałem... Przecież powyższego zdania nie wypowiedziałem, tylko je napisałem. Spróbujmy więc inaczej: wykorzystajmy istniejący w języku polskim przymiotnik (a właściwie zaimek przymiotny) "niniejszy":
Niniejsze zdanie jest fałszywe.
Powyższe zdanie jest chyba najelegantszym sformułowaniem paradoksu kłamcy.
niepoprawność językowa?
Jak już zobaczyliśmy, okazuje się, że zdanie "Niniejsze zdanie jest fałszywe" nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe (chyba żeby przyjąć, że jest to zdanie równocześnie prawdziwe i fałszywe, najroztropniej będzie jednak odrzucić tę ewentualność...) Lecz właściwie dlaczego nie sposób przypisać temu zdaniu prawdy ani fałszu? Jest to przecież poprawne gramatycznie i w pełni zrozumiałe dla każdego Polaka zdanie oznajmujące. Ponadto zdanie to dotyczy obiektywnych faktów, a nie gustów, emocji czy subiektywnych ocen. A zatem omawiane zdanie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe z innych powodów niż takie zdania jak na przykład:
Avavrwfmr mqnavr wrfg mnfmlsebjnar.
Smukwijne jaszmije wężały na zegwniku.
Czy Warszawa jest stolicą Polski?
Precz z rządem i jego kretyńską polityką!
Nie pożądaj żony bliźniego swego.
Muzyka thrash metal to wspaniały przykład kultury muzycznej naszego narodu.
samoodnośność
Każde zdanie zawierające frazę "niniejsze zdanie" jest zdaniem samoodnośnym, to znaczy każde takie zdanie mówi coś o sobie samym. Na pierwszy rzut oka można by mniemać, że to właśnie samoodnośność jest źródłem wszystkich kłopotów w paradoksie kłamcy. Takie przekonanie jest jednak błędne, nietrudno wymyśleć zdania samoodnośne, które wcale nie są paradoksalne, takie które są najzwyczajniej w świecie prawdziwe, na przykład:
Niniejsze zdanie sformułowano w języku polskim.
Niniejsze zdanie składa się z siedmiu słów.
a także takie, które są po prostu fałszywe:
Niniejsze zdanie sformułowano w języku suahili.
Niniejsze zdanie składa się z ośmiu słów.
Nie daje się więc obronić teza, jakoby samoodnośność z zasady, zawsze i wszędzie prowadziła do zdań paradoksalnych, zdań, którym nie da się przypisać ani prawdy, ani fałszu.
Wydaje się jednak, że samoodnośność jest zasadniczym elementem paradoksu kłamcy. Zresztą, jak się okazuje samoodnośność można wprowadzić do paradoksu kłamcy na wiele sposobów, nie tylko poprzez użycie frazy "niniejsze zdanie" (czy synonimicznych fraz typu "to właśnie zdanie", "to zdanie, które właśnie teraz wypowiadam"). Warto poświęcić trochę miejsca na podanie kilku wariantów "zdania kłamcy".
172. Zdanie nr 172 jest fałszywe.
Jedyne zdanie napisane zieloną czcionką w niniejszym tekście jest fałszywe.
Fałszywe jest jedyne zdanie na stronie http://ceti.pl/gralinski/archiwumfi/klamca.htm zawierające ujęte w cudzysłów słowo "wykładzina".
Kliknięcie tutaj prowadzi do zdania fałszywego.
Zdanie poprzedzające następną kropkę jest fałszywe.
W bardziej wyrafinowanej wersji paradoksu kłamcy wykorzystuje się pojęcie normy wyrażenia. Normą danego wyrażenia nazywamy złączenie tego wyrażenia z kopią tegoż wyrażenia ujętą w cudzysłów. Na przykład normą wyrażenia
Jan powiedział, że
jest zdanie
Jan powiedział, że "Jan powiedział, że"
A oto paradoks kłamcy, w którym samoodnośność została osiągnięta bez słowa "niniejszy", za to przy użyciu pojęcia normy:
Fałszywym zdaniem jest norma wyrażenia "Fałszywym zdaniem jest norma wyrażenia"
zdanie paradoksalne? diabli wiedzą
Bardzo niepokojące jest to, że można tak zmodyfikować zdanie z paradoksu kłamcy, by otrzymać zdanie, które być może jest paradoksalne, a być może nie jest. Rozpatrzmy mianowicie zdanie
Liczba gwiazd w Galaktyce jest parzysta lub niniejsze zdanie jest fałszywe.
Liczba gwiazd w Galaktyce jest albo parzysta, albo nieparzysta. Jeśli jest parzysta powyżej podane zdanie jest po prostu prawdziwe (jeśli zdanie A jest prawdziwe, wówczas alternatywa "A lub B" jest rzecz jasna też prawdziwa, bez względu na to, czy człon B jest prawdziwy, czy nie). W przeciwnym razie otrzymujemy zdanie paradoksalne! (Jeśli w alternatywie jeden z członów jest fałszywy, prawdziwość alternatywy zależy wprost od prawdziwości drugiego członu.) Nie wiemy niestety (i zapewne nigdy się nie dowiemy), czy liczba gwiazd w naszej Galaktyce jest parzysta. Nie wiemy zatem, czy powyżej przytoczone zdanie jest paradoksalne, czy nie! Co więcej, wraz z narodzinami i zgonami kolejnych słońc w Drodze Mlecznej, zdanie to raz jest prawdziwe, by w jednej chwili stać się paradoksalnym. Zaczynamy tęsknić do statecznej paradoksalności oryginalnego zdania z paradoksu kłamcy...
nieparadoks prawdomównego
Niniejsze zdanie jest zdaniem prawdziwym.
Załóżmy, że powyższe zdanie jest zdaniem prawdziwym, wówczas faktycznie jest prawdą to, co ono głosi (że "jest zdaniem prawdziwym"). W przeciwieństwie do paradoksu kłamcy, nie mamy żadnej sprzeczności. Niestety brak sprzeczności także wtedy, gdy przyjmiemy, że zdanie to jest fałszywe! (Zdanie jest fałszywe, a więc nie jest prawdą to, co ono głosi, tzn. nie jest prawdą, że jest prawdziwe, a zatem faktycznie - i w zgodzie z naszym założeniem - jest fałszywe.) Paradoks kłamcy pozostawia nas w sytuacji bez wyjścia, zaś "nieparadoks" prawdomównego jest nazbyt liberalny - prawdziwość zdania zależy od naszego widzimisię.
ostrzeżenie
Na koniec jestem winien ostrzeżenie: opowiadają, że starożytny grecki poeta Filetas z Kos tak długo rozmyślał nad paradoksem kłamcy, że nieszczęsny wyzionął ducha. Nie życzyłbym sobie, żeby ktokolwiek z czytelników skończył jak ów biedak... W każdym razie autor nie ponosi odpowiedzialności za jakiekolwiek szkody wynikłe w wyniku podjęcia działań w oparciu o informacje zawarte w niniejszym zdaniu.
patrz także
do poczytania
po polsku
- Raymond Smullyan, Jaki jest tytuł tej książki? Tajemnice Drakurli, zabawy i łamigłówki logiczne, Książka i Wiedza 1998
- Raymond Smullyan, Szatan, Cantor i nieskończoność, Książka i Wiedza 1998